Упр.12.5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Даны стороны параллелограмма $$a$$ и $$b$$ и один из углов $$\alpha$$. Найдите диагонали параллелограмма.

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, где $$AB=a$$, $$BC=AD=b$$, $$\angle DAB=\alpha$$.

Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то $$AD \parallel BC$$. Тогда при секущей $$AB$$ получаем

$$\angle ABC=180^\circ-\alpha,$$

следовательно,

$$\cos \angle ABC=\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha.$$

Найдём диагональ $$BD$$ по теореме косинусов в треугольнике $$BAD$$:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos\angle BAD$$

$$BD^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha,$$

откуда

$$BD=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}.$$

Теперь найдём диагональ $$AC$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ABC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle ABC$$

$$AC^2=a^2+b^2-2ab\cdot(-\cos\alpha)=a^2+b^2+2ab\cos\alpha,$$

значит,

$$AC=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}.$$

Ответ: $$BD=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha},\quad AC=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}.$$