Упр.9.5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: центр окружности является ее центром симметрии;
Доказательство:
1) Возьмем произвольную точку A, лежащую на какой-нибудь окружности
с центром в точке O;
2) Проведем диметр AB этой окружности, по определению диаметра
окружности, точки A, O и B лежат на одной прямой, при этом:
AO=OB=R;
3) Таким образом, точка B симметрична точке A относительно центра O
данной окружности;
4) Так как A-случайная точка окружности, то любая точка окружности
при преобразовании симметрии относительно точки O переходит в другую
точку окружности, следовательно окружность является центрально-
симметричной фигурой, центром симметрии которой является ее центр,
что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Возьмём произвольную точку $$A$$, лежащую на окружности с центром в точке $$O$$. Проведём диаметр $$AB$$ этой окружности. Тогда точки $$A$$, $$O$$ и $$B$$ лежат на одной прямой, причём

$$AO=OB=R.$$

Значит, точка $$B$$ симметрична точке $$A$$ относительно точки $$O$$.

Так как точка $$A$$ была выбрана произвольно, то при центральной симметрии относительно точки $$O$$ каждая точка окружности переходит в другую точку этой же окружности. Следовательно, окружность является центрально-симметричной фигурой, а её центром симметрии является центр окружности $$O$$.