Упр.10.49 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что проекция $$a$$ вектора $$c$$ на ось абсцисс с координатным вектором $$e_1\ (1; 0)$$ задаётся формулой $$a=ke_1$$, где $$k=ce_1$$.

Пусть $$\vec c=(c_1;c_2)$$ — вектор с началом в точке $$C$$ и концом в точке $$D$$. Тогда его проекция на ось абсцисс — это вектор $$\vec a$$, у которого сохраняется только абсцисса, а ордината равна нулю.

Следовательно, если $$\vec e_1=(1;0)$$ — координатный вектор оси абсцисс, то

$$\vec a=(c_1;0).$$

С другой стороны, скалярное произведение вектора $$\vec c$$ на $$\vec e_1$$ равно

$$\vec c\cdot \vec e_1=c_1\cdot 1+c_2\cdot 0=c_1.$$

Тогда

$$k\vec e_1=(\vec c\cdot \vec e_1)\vec e_1=c_1(1;0)=(c_1;0).$$

Значит,

$$\vec a=k\vec e_1,$$

где

$$k=\vec c\cdot \vec e_1.$$

Тем самым доказано, что проекция вектора $$\vec c$$ на ось абсцисс задаётся формулой $$\vec a=k\vec e_1$$, где $$k=\vec c\cdot \vec e_1$$.