Упр.1.49 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пересекает отрезок $$AB$$ с концами на сторонах угла, то он пересекает: 1) отрезок $$AC$$ с концами на сторонах угла; 2) любой отрезок $$CD$$ с концами на сторонах угла (рис. 30).

Подробный ответ

Продолжим луч $$OK$$ до прямой $$OK$$. Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости.

Так как луч $$OK$$ пересекает отрезок $$AB$$, концы которого лежат на сторонах угла $$AOB$$, то луч $$OK$$ проходит между сторонами угла. Значит, точки $$A$$ и $$B$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$OK$$.

Теперь рассмотрим любой отрезок с концами на сторонах угла $$AOB$$.

1) Для отрезка $$AC$$ точки $$A$$ и $$C$$ лежат на разных сторонах угла, следовательно, они находятся в разных полуплоскостях относительно прямой $$OK$$. Значит, отрезок $$AC$$ пересекает луч $$OK$$.

2) Аналогично, для любого отрезка $$CD$$ с концами на сторонах угла $$AOB$$ точки $$C$$ и $$D$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$OK$$. Следовательно, отрезок $$CD$$ также пересекает луч $$OK$$.

Итак, если луч, исходящий из вершины угла, пересекает один отрезок с концами на сторонах угла, то он пересекает и любой другой такой отрезок.