Упр.14.49 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: площадь многоугольника, описанного около окружности,
равна половине произведения периметра многоугольника на радиус
окружности;
Доказательство:
1) Пусть A1 A2 A3…An-многоугольник, описанный около окружности
радиуса R с центром в точке O;
2) Периметр этого многоугольника равен:
p=A1 A2+A2 A3+…+An A1;
3) Отметим точки H1, H2, …, Hn касания сторон многоугольника с
окружностью;
4) Отрезки OH1, OH2, OH3, …, OHn являются радиусами окружности:
OH1=OH2=…=OHn=R;
5) А так же по свойству касательной и радиуса они перпендикулярны
сторонам многоугольника;
6) Многоугольник A1 A2 A3…An состоит из треугольников:
A1 OA2, A2 OA3, …, An OA1 образованных его сторонами и отрезками
соединяющими его вершины с точкой O, а отрезки OH1, OH2, …, OHn
являются высотами этих треугольников;
5) Следовательно, площадь данного многоугольника равна:
S=S(A1 OA2)+S(A2 OA3 )+…+S(An OA1 );
S=1/2 A1 A2•OH1+1/2 A2 A3•OH2+…+1/2 An A1•OHn;
S=1/2 R•(A1 A2+A2 A3+…+An A1 )=p/2 R, что и требовалось доказать.

Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_n$$ — многоугольник, описанный около окружности радиуса $$R$$ с центром в точке $$O$$.

Обозначим через $$H_1, H_2, \dots, H_n$$ точки касания окружности со сторонами многоугольника. Тогда

$$OH_1=OH_2=\dots=OH_n=R,$$

так как все эти отрезки являются радиусами окружности. Кроме того, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит

$$OH_1 \perp A_1A_2,\quad OH_2 \perp A_2A_3,\quad \dots,\quad OH_n \perp A_nA_1.$$

Многоугольник $$A_1A_2A_3\dots A_n$$ можно разбить на треугольники $$A_1OA_2, A_2OA_3, \dots, A_nOA_1$$. Тогда его площадь равна сумме площадей этих треугольников:

$$S=S_{A_1OA_2}+S_{A_2OA_3}+\dots+S_{A_nOA_1}.$$

Для каждого треугольника имеем:

$$S_{A_1OA_2}=\frac{1}{2}A_1A_2\cdot OH_1,\quad S_{A_2OA_3}=\frac{1}{2}A_2A_3\cdot OH_2,\quad \dots,\quad S_{A_nOA_1}=\frac{1}{2}A_nA_1\cdot OH_n.$$

Складывая, получаем:

$$ S=\frac{1}{2}\left(A_1A_2\cdot OH_1+A_2A_3\cdot OH_2+\dots+A_nA_1\cdot OH_n\right). $$

Так как $$OH_1=OH_2=\dots=OH_n=R$$, то

$$ S=\frac{1}{2}R\left(A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_nA_1\right). $$

Но

$$p=A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_nA_1,$$

следовательно,

$$S=\frac{1}{2}pR.$$

Что и требовалось доказать.