Упр.15.49 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Конус пересечён плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии $$d$$ от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса $$R$$, а высота $$H$$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Пусть $$P$$ — вершина конуса, $$O$$ — центр основания, $$O_1$$ — центр сечения. Тогда $$OP=H$$, а $$PO_1=d$$.

Возьмём точку $$A$$ на окружности основания и соответствующую ей точку $$A_1$$ на окружности сечения. Тогда $$OA=R$$, а $$O_1A_1$$ — радиус сечения.

Треугольники $$AOP$$ и $$A_1O_1P$$ подобны, так как они прямоугольные и имеют общий острый угол при вершине $$P$$. Поэтому

$$\frac{O_1A_1}{OA}=\frac{O_1P}{OP}$$

Отсюда

$$O_1A_1=\frac{OA\cdot O_1P}{OP}=\frac{Rd}{H}.$$

Сечение — круг, значит его площадь равна

$$S=\pi (O_1A_1)^2=\pi\left(\frac{Rd}{H}\right)^2=\frac{\pi R^2d^2}{H^2}.$$

Ответ: $$\frac{\pi R^2d^2}{H^2}$$.