Упр.4.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точка;
Доказательство:
1) Проведем биссектрисы из углов A и B произвольного треугольника
ABC, они пересекутся в некоторой точке O;
2) Опустим из точки O перпендикуляры OD, OE и OF на стороны треугольник ABC
как показано на рисунке;
3) Прямоугольные треугольники AOD и AOE равны по гипотенузе и
острому углу (AO-общая гипотенуза и угол OAD = углу OAE так как AO-
биссектриса угол OAE);
4) Из равенства треугольников следует равенство их катетов OD и OE;
5) Аналогично, равенство катетов OE и OF из равенства треугольников
BOE и BOF, значит катеты OD, OF и OE равны между собой;
6) Прямоугольные треугольники COD и COF равны по гипотенузе и
катету (CO-общая гипотенуза и OD=OF), отсюда угол OCD = углу OCF;
7) Следовательно луч CO-биссектриса угла C треуголььника ABC;
8) Таким образом, все биссектрисы треугольник ABC пересекаются в одной точке,
что и требовалось доказать.

Проведём биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ треугольника $$ABC$$. Они пересекутся в некоторой точке $$O$$.

Опустим из точки $$O$$ перпендикуляры $$OD$$, $$OE$$ и $$OF$$ на стороны $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ соответственно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOD$$ и $$AOE$$. У них:

• $$AO$$ — общая гипотенуза;
• $$\angle OAD = \angle OAE$$, так как $$AO$$ — биссектриса угла $$A$$;
• $$\angle ADO = \angle AEO = 90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle AOE$$ по гипотенузе и острому углу. Значит, $$OD = OE$$.

Аналогично, из равенства прямоугольных треугольников $$BOE$$ и $$BOF$$ получаем $$OE = OF$$.

Итак, $$OD = OE = OF$$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$COD$$ и $$COF$$. У них:

• $$CO$$ — общая гипотенуза;
• $$OD = OF$$;
• $$\angle CDO = \angle CFO = 90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle COD \cong \triangle COF$$ по гипотенузе и катету. Отсюда

$$\angle OCD = \angle OCF.$$

Значит, луч $$CO$$ — биссектриса угла $$C$$.

Таким образом, все три биссектрисы треугольника $$ABC$$ пересекаются в одной точке.

Ответ

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.