Упр.10.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Даны три точки О, А, В. Точка X делит отрезок АВ в отношении $$\lambda:\nu$$, считая от точки А. Выразите вектор $$\overrightarrow{ОX}$$ через векторы $$\overrightarrow{ОА}=\mathbf{a}$$ и $$\overrightarrow{ОВ}=\mathbf{b}$$.
Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении $$2:1$$, считая от соответствующих вершин.

Подробный ответ

1) Пусть $$\overrightarrow{OA}=\vec a,$$ $$\overrightarrow{OB}=\vec b,$$ а точка $$X$$ делит отрезок $$AB$$ в отношении $$\lambda:\mu$$, считая от точки $$A$$. Тогда

$$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX}.$$

Кроме того,

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec b-\vec a.$$

Так как $$AX:XB=\lambda:\mu,$$ то

$$\overrightarrow{AX}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,\overrightarrow{AB}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}(\vec b-\vec a).$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OX} =\vec a+\frac{\lambda}{\lambda+\mu}(\vec b-\vec a) =\frac{\mu\vec a+\lambda\vec b}{\lambda+\mu}.$$

2) Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$A_1$$ и $$C_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AB$$ соответственно, а медианы $$AA_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в точке $$O$$. Обозначим

$$\overrightarrow{AC}=\vec b,\qquad \overrightarrow{AB}=\vec c.$$

Тогда, так как $$C_1$$ — середина $$AB,$$ имеем

$$\overrightarrow{AC_1}=\frac12\,\overrightarrow{AB}=\frac12\,\vec c.$$

По формуле из пункта 1 для точки $$O$$ на отрезке $$AC_1$$:

$$\overrightarrow{AO} =\frac{\mu\,\overrightarrow{AC}+\lambda\,\overrightarrow{AC_1}}{\lambda+\mu} =\frac{\mu\vec b+\frac12\lambda\vec c}{\lambda+\mu}.$$

С другой стороны, так как $$A_1$$ — середина $$BC,$$ то

$$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\,\overrightarrow{AC}+\frac12\,\overrightarrow{AB} =\frac12\vec b+\frac12\vec c.$$

Поскольку точки $$A,O,A_1$$ лежат на одной прямой, векторы $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{AA_1}$$ коллинеарны. Из этого следует, что

$$\frac{\mu}{\lambda+\mu}:\frac12=\frac{\frac12\lambda}{\lambda+\mu}:\frac12,$$

откуда

$$\mu=\frac12\lambda,\qquad \lambda=2\mu.$$

Тогда

$$\frac{CO}{OC_1}=\frac{2\mu}{\mu}=2:1,$$

то есть точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1,$$ считая от вершины.

Аналогично для медианы $$AA_1$$ получаем

$$\frac{AO}{OA_1}=2:1.$$

Следовательно, все медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении $$2:1$$ от соответствующей вершины.