Упр.11.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 48 Золотым сечением называется деление отрезка длины d = а + b на две части, при котором большая часть а является средней пропорциональной величиной между длиной всего отрезка d и меньшей частью b. Найдите а, если b = 1.

Так как при золотом сечении большая часть $$a$$ является средней пропорциональной между длиной всего отрезка $$d$$ и меньшей частью $$b$$, то

$$a=\sqrt{db}.$$

По условию $$b=1$$, значит

$$a=\sqrt{d}.$$

Но $$d=a+b=a+1$$, поэтому

$$a=\sqrt{a+1}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$a^2=a+1.$$

Получаем квадратное уравнение

$$a^2-a-1=0.$$

Тогда

$$a=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.$$

Так как $$a>b=1$$, подходит только положительный корень:

$$a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618.$$

Ответ

$$a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618.$$