Упр.1.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: отрезки AB и CD пересекаются в точке E;
Доказать: отрезок AC не пересекает прямую BD;
Доказательство:
1) Прямая BD делит плоскость на две полуплоскости m и n;
2) Допустим, что отрезок AC пересекает прямую BD, тогда точка
A лежит в плоскости m, а точка C в плоскости n;
3) Отрезок AB пересекает прямую BD в точке B, значит все точки
отрезка AB в том числе и точка E лежат в полуплоскости m;
4) Отрезок CD пересекает прямую BD в точке D, значит все точки
отрезка CD в том числе и точка E лежат в полуплоскости n;
5) Но одна точка не может лежать в разных полуплоскостях, а
отрезки не могут пересекаться в двух разных точках, следовательно
допущение не верно и отрезок AC не пересекает прямую BD, что и
требовалось доказать.

Подробный ответ

Прямая $$BD$$ делит плоскость на две полуплоскости $$m$$ и $$n$$.

Предположим, что отрезок $$AC$$ пересекает прямую $$BD$$. Тогда точки $$A$$ и $$C$$ лежат в разных полуплоскостях: пусть $$A \in m$$, а $$C \in n$$.

Так как отрезок $$AB$$ пересекает прямую $$BD$$ в точке $$B$$, то все точки отрезка $$AB$$, в том числе точка $$E$$, лежат в полуплоскости $$m$$.

Аналогично, поскольку отрезок $$CD$$ пересекает прямую $$BD$$ в точке $$D$$, все точки отрезка $$CD$$, в том числе точка $$E$$, лежат в полуплоскости $$n$$.

Получаем противоречие: одна и та же точка $$E$$ не может одновременно принадлежать двум разным полуплоскостям. Значит, наше предположение неверно.

Следовательно, отрезок $$AC$$ не пересекает прямую $$BD$$.