Упр.4.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Проведём биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ треугольника $$ABC$$. Они пересекутся в некоторой точке $$O$$.

Опустим из точки $$O$$ перпендикуляры $$OD$$, $$OE$$ и $$OF$$ на стороны $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ соответственно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOD$$ и $$AOE$$. У них:

• $$AO$$ — общая гипотенуза;
• $$\angle OAD=\angle OAE$$, так как $$AO$$ — биссектриса угла $$A$$;
• $$\angle ADO=\angle AEO=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle AOE$$ по гипотенузе и острому углу. Значит, $$OD=OE$$.

Аналогично, из равенства прямоугольных треугольников $$BOE$$ и $$BOF$$ получаем $$OE=OF$$.

Итак, $$OD=OE=OF$$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$COD$$ и $$COF$$. У них:

• $$CO$$ — общая гипотенуза;
• $$OD=OF$$;
• $$\angle CDO=\angle CFO=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle COD \cong \triangle COF$$ по гипотенузе и катету. Отсюда

$$\angle OCD=\angle OCF.$$

Значит, луч $$CO$$ — биссектриса угла $$C$$.

Таким образом, все три биссектрисы треугольника $$ABC$$ пересекаются в одной точке.