Упр.11.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- 11.47. Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность.
Пусть для точек $$A$$ и $$B$$ отношение расстояний до искомой точки $$M$$ постоянно и равно $$k \ne 1$$, то есть
$$\frac{AM}{BM}=k.$$
Проведём в треугольнике $$ABM$$ биссектрису внутреннего угла при вершине $$M$$, пусть она пересекает прямую $$AB$$ в точке $$C$$. По теореме о биссектрисе
$$\frac{AC}{BC}=\frac{AM}{BM}=k.$$
Значит, точка $$C$$ не зависит от выбора точки $$M$$.
Теперь проведём биссектрису внешнего угла при вершине $$M$$ треугольника $$ABM$$. Пусть она пересекает прямую $$AB$$ в точке $$D$$. По свойству биссектрисы внешнего угла
$$\frac{AD}{BD}=\frac{AM}{BM}=k.$$
Следовательно, точка $$D$$ тоже не зависит от выбора точки $$M$$.
Так как $$MC$$ и $$MD$$ — биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине $$M$$, то
$$\angle CMD=\frac{1}{2}\angle AMB+\frac{1}{2}(180^\circ-\angle AMB)=90^\circ.$$
Значит, треугольник $$CMD$$ прямоугольный. Обозначим через $$O$$ середину отрезка $$CD$$. Тогда в прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех его вершин, поэтому
$$OC=OD=OM.$$
Но точки $$C$$ и $$D$$ фиксированы, значит, и точка $$O$$ фиксирована. Следовательно, для любой точки $$M$$, удовлетворяющей условию, выполняется
$$OM=OC,$$
то есть все такие точки равноудалены от одной и той же точки $$O$$. По определению, это окружность.
Ответ: геометрическое место точек — окружность.
