Упр.1.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Дан треугольник $$ABC$$. На стороне $$AC$$ взята точка $$B_1$$, а на стороне $$BC$$ — точка $$A_1$$. Докажите, что отрезки $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются (рис. 28).
Рассмотрим прямую $$BB_1$$. Она пересекает сторону $$AC$$ в точке $$B_1$$, значит точки $$A$$ и $$C$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$BB_1$$.
Так как $$A_1 \in BC$$, а прямые $$BC$$ и $$BB_1$$ пересекаются в точке $$B$$, то точки $$C$$ и $$A_1$$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $$BB_1$$: иначе прямая $$BC$$ пересекла бы $$BB_1$$ ещё в одной точке, что невозможно.
Следовательно, точки $$A$$ и $$A_1$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$BB_1$$. Значит, отрезок $$AA_1$$ пересекает прямую $$BB_1$$.
Аналогично, рассматривая прямую $$AA_1$$, получаем, что точки $$B$$ и $$B_1$$ лежат в разных полуплоскостях относительно неё, поэтому отрезок $$BB_1$$ пересекает прямую $$AA_1$$.
Итак, отрезки $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются.
