Упр.7.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза $$c$$ и острый угол $$\alpha$$. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный треугольник, где $$\angle C=90^\circ$$, $$AB=c$$, $$\angle B=\alpha$$.
Тогда по определениям синуса и косинуса:
$$\cos \angle B=\frac{BC}{AB}, \qquad BC=AB\cdot \cos \angle B=c\cos \alpha,$$
$$\sin \angle B=\frac{AC}{AB}, \qquad AC=AB\cdot \sin \angle B=c\sin \alpha.$$
Опустим из вершины $$C$$ высоту $$CD$$ на гипотенузу $$AB$$. Тогда $$AD$$ и $$DB$$ — проекции катетов $$AC$$ и $$BC$$ на гипотенузу.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CBD$$:
$$\cos \angle B=\frac{BD}{BC}, \qquad BD=BC\cdot \cos \angle B=c\cos^2\alpha.$$
Так как в треугольниках $$ABC$$ и $$CAD$$:
$$\angle ABC=90^\circ-\angle BAC,$$
$$\angle DCA=90^\circ-\angle BAC,$$
то $$\angle DCA=\angle ABC=\alpha$$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CAD$$:
$$\sin \angle C=\sin \alpha=\frac{AD}{AC}, \qquad AD=AC\cdot \sin \alpha=c\sin^2\alpha,$$
$$\cos \angle C=\cos \alpha=\frac{CD}{AC}, \qquad CD=AC\cdot \cos \alpha=c\sin \alpha\cos \alpha.$$
Следовательно, катеты равны $$c\cos \alpha$$ и $$c\sin \alpha$$, их проекции на гипотенузу равны $$c\cos^2\alpha$$ и $$c\sin^2\alpha$$, а высота, опущенная на гипотенузу, равна $$c\sin \alpha\cos \alpha$$.
Ответ: $$c\cos \alpha;\ c\sin \alpha;\ c\cos^2\alpha;\ c\sin^2\alpha;\ c\sin \alpha\cos \alpha.$$
