Упр.11.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: геометрическое место точек, отношение расстояний от
которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть
окружность;
Доказательство:
1) Пусть указанное отношение расстояний равно k;
2) Отметим любую точку M удовлетворяющую условию: AM/BM=k;
3) В треугольнике ABM проведем биссектрису MC, тогда по свойству
биссектрисы:
AM/AC=BM/BC = > AC/BC=AM/BM=k;
То есть положение точки C не зависит от выбранной точки M;
4) Построим биссектрису внешнего угла при вершине M треугольник ABM, она
пересечет прямую AB в точке D, тогда по доказанному в задаче 11.46:
AD/BD=AM/BM=k;
То есть положение точки D также не зависит от выбранной точки M;
5) Прямые MC и MD-биссектрисы внешнего и внутреннего углов:
2угол CMB+2угол BMD = углу AMT;
2(угол CMB+ угол BMD)=180°;
2угол CMD=180°, отсюда угол CMD=90°;
6) Отметим точку O-середину отрезка CD;
7) Достроим прямоугольный треугольник CMD до прямоугольника CMDM1, тогда
O-точка пересечения диагоналей: MO=CO=OD=OM1=1/2 CD;
8) Отрезок CD не зависит от выбора точки M, значит все точки,
удовлетворяющие условию, будут равноудалены от точки O, значит
множество этих точек является окружностью (по определению), что и
требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть отношение расстояний от искомой точки до данных точек $$A$$ и $$B$$ постоянно и равно $$k$$, где $$k\ne 1$$. Возьмём любую точку $$M$$, удовлетворяющую условию

$$\frac{AM}{BM}=k.$$

Проведём в треугольнике $$ABM$$ биссектрису $$MC$$ внутреннего угла при вершине $$M$$. По свойству биссектрисы

$$\frac{AC}{BC}=\frac{AM}{BM}=k.$$

Значит, точка $$C$$ не зависит от выбора точки $$M$$.

Теперь проведём биссектрису внешнего угла при вершине $$M$$ треугольника $$ABM$$; пусть она пересекает прямую $$AB$$ в точке $$D$$. Тогда по свойству биссектрисы внешнего угла

$$\frac{AD}{BD}=\frac{AM}{BM}=k.$$

Следовательно, точка $$D$$ также не зависит от выбора точки $$M$$.

Так как $$MC$$ и $$MD$$ — биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине $$M$$, то

$$\angle CMD=90^\circ.$$

Обозначим через $$O$$ середину отрезка $$CD$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$CMD$$ середина гипотенузы равноудалена от всех его вершин, значит

$$OC=OD=OM.$$

Отрезок $$CD$$ не зависит от выбора точки $$M$$, следовательно, и точка $$O$$ постоянна. Значит, все точки $$M$$, для которых $$\dfrac{AM}{BM}=k$$, равноудалены от одной и той же точки $$O$$, то есть лежат на окружности.