Упр.6.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные, радиус окружности $$10\ \text{см}$$. Найдите длины касательных (расстояние от данной точки до точки касания).

Пусть $$A$$ — данная точка, $$O$$ — центр окружности, $$B$$ и $$C$$ — точки касания. Тогда $$AB$$ и $$AC$$ — касательные, а значит, радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

$$OB\perp AB,\qquad OC\perp AC.$$

По условию касательные взаимно перпендикулярны, значит

$$AB\perp AC.$$

Кроме того, $$OB=OC=10$$ см как радиусы окружности.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABOC$$. В нём

$$\angle ABO=90^\circ,\qquad \angle ACO=90^\circ,\qquad \angle BAC=90^\circ.$$

Следовательно, $$ABOC$$ — прямоугольник. В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому

$$AB=OC=10\text{ см},\qquad AC=OB=10\text{ см}.$$

Значит, длины обеих касательных равны $$10$$ см.

Ответ: $$10$$ см.