Упр.1.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: треугольник ABC; B1 принадлежит AC и A1 принадлежит BC;
Доказать: отрезки AA1 и BB1 пересекаются;
Доказательство:
1) Прямая BB1 пересекает отрезок AC в точке B1, значит точки A и C
лежат в разных полуплоскостях относительно прямой BB1;
2) Прямые BC и BB1 пересекаются в точке B;
3) Точка A1 принадлежит отрезку BC;
4) Так как две прямые не могут пересекаться в двух точках, то точки
C и A1 лежат в одной полуплоскости относительно прямой BB1;
5) Точки A и A1 лежат в разных полуплоскостях, значит отрезок AA1
пересекает прямую BB1;
6) Аналогично для отрезка BB1 и прямой AA1, значит отрезки AA1 и
BB1 пересекаются, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Рассмотрим прямую $$BB_1$$. Она пересекает сторону $$AC$$ в точке $$B_1$$, значит точки $$A$$ и $$C$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$BB_1$$.

Точка $$A_1$$ принадлежит отрезку $$BC$$. Прямые $$BC$$ и $$BB_1$$ пересекаются в точке $$B$$, поэтому точки $$C$$ и $$A_1$$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $$BB_1$$: иначе прямая $$BB_1$$ пересекала бы прямую $$BC$$ в двух точках.

Следовательно, точки $$A$$ и $$A_1$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$BB_1$$. Значит, отрезок $$AA_1$$ пересекает прямую $$BB_1$$.

Аналогично, прямая $$AA_1$$ пересекает отрезок $$BB_1$$. Следовательно, отрезки $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются.