Упр.4.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ медиана $$BD$$ равна половине стороны $$AC$$. Найдите угол $$B$$ треугольника.

Так как $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то $$D$$ — середина стороны $$AC$$, значит

$$AD=DC=\frac12 AC.$$

По условию $$BD=\frac12 AC$$, следовательно,

$$AD=DC=BD.$$

Тогда треугольник $$ABD$$ равнобедренный, и

$$\angle DAB=\angle ABD.$$

Аналогично треугольник $$BCD$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle DBC=\angle BCD.$$

Пусть $$\angle BDA=x$$. Тогда в треугольнике $$ABD$$

$$\angle DAB+\angle ABD+\angle BDA=180^\circ,$$

откуда

$$\angle DAB=\angle ABD=\frac{180^\circ-x}{2}=90^\circ-\frac{x}{2}.$$

Смежный с ним угол

$$\angle BDC=180^\circ-x.$$

В треугольнике $$BCD$$

$$\angle DBC=\angle BCD=\frac{180^\circ-\angle BDC}{2}=\frac{180^\circ-(180^\circ-x)}{2}=\frac{x}{2}.$$

Теперь найдём угол $$B$$:

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=\left(90^\circ-\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{2}=90^\circ.$$

Ответ: $$90^\circ$$.