Упр.14.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — катеты, а $$c$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника.

Площадь такого треугольника равна

$$S=\frac12ab.$$

С другой стороны, для любого треугольника радиус вписанной окружности выражается формулой

$$r=\frac{2S}{a+b+c}.$$

Тогда

$$r=\frac{ab}{a+b+c}.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$a+b-c$$:

$$r=\frac{ab(a+b-c)}{(a+b+c)(a+b-c)}.$$

В знаменателе получаем разность квадратов:

$$(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2-c^2.$$

По теореме Пифагора $$c^2=a^2+b^2$$, значит

$$(a+b)^2-c^2=a^2+2ab+b^2-(a^2+b^2)=2ab.$$

Следовательно,

$$r=\frac{ab(a+b-c)}{2ab}=\frac{a+b-c}{2}.$$

Итак, радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.