Упр.7.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а один из
острых углов равен ?;
Найти: катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на
гипотенузу;

Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный треугольник, у которого $$\angle C=90^\circ$$, $$AB=c$$ и $$\angle B=\alpha$$.

Тогда по определениям синуса и косинуса угла $$B$$ получаем:

$$\cos \angle B=\frac{BC}{AB}, \qquad BC=AB\cdot \cos \angle B=c\cos \alpha,$$

$$\sin \angle B=\frac{AC}{AB}, \qquad AC=AB\cdot \sin \angle B=c\sin \alpha.$$

Опустим из вершины $$C$$ высоту $$CD$$ на гипотенузу $$AB$$. Тогда $$AD$$ и $$DB$$ — проекции катетов $$AC$$ и $$BC$$ на гипотенузу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CBD$$:

$$\cos \angle B=\frac{BD}{BC}, \qquad BD=BC\cdot \cos \angle B=c\cos^2 \alpha.$$

Так как $$\angle DCA=90^\circ-\angle BAC=\angle B=\alpha,$$ то в прямоугольном треугольнике $$CAD$$ имеем:

$$\sin \angle C=\sin \alpha=\frac{AD}{AC}, \qquad AD=AC\cdot \sin \alpha=c\sin^2 \alpha,$$

$$\cos \angle C=\cos \alpha=\frac{CD}{AC}, \qquad CD=AC\cdot \cos \alpha=c\sin \alpha \cos \alpha.$$

Проверим также вторую проекцию:

$$AD=AB-BD=c-c\cos^2 \alpha=c(1-\cos^2 \alpha)=c\sin^2 \alpha.$$

Ответ

$$BC=c\cos \alpha,\quad AC=c\sin \alpha,\quad BD=c\cos^2 \alpha,\quad AD=c\sin^2 \alpha,\quad CD=c\sin \alpha \cos \alpha.$$