Упр.6.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: из данной точки к окружности проведены две взаимно
перпендикулярные прямые; радиус окружности 10 см;
Найти: длины касательных;
Решение:
1) Пусть даны точка A и окружность с центром в точке O;
2) AB и AC-касательные к окружности, значит AB перпендикулярен AC (по условию);
3) Отрезки AB и AC равны как касательные, проведенные из общей
точки;
4) OB перпендикулярен BA и OC перпендикулярен CA (как радиусы, проведенные к касательным);
5) Отрезки OB=OC=10 см (как радиусы данной окружности)
6) У четырехугольника ABOC три угла равны 90°, значит и четвертый
угол равен 90°, следовательно ABOC-прямоугольник;
7) Так как у прямоугольника ABOC соседние стороны равны, то все
его стороны одинаковы, следовательно ABOC-квадрат, отсюда
AB=AC=OB=OC=10 см;
Ответ: 10 см.

Пусть из точки $$A$$ к окружности с центром в точке $$O$$ проведены касательные $$AB$$ и $$AC$$, причём $$AB \perp AC$$. Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

$$OB \perp AB,\quad OC \perp AC.$$

Следовательно, углы $$\angle ABO$$ и $$\angle ACO$$ равны $$90^\circ$$. По условию также $$\angle BAC=90^\circ$$. Значит, четырёхугольник $$ABOC$$ имеет три прямых угла, а значит, и четвёртый угол тоже прямой. Следовательно, $$ABOC$$ — прямоугольник.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому

$$AB=OC,\quad AC=OB.$$

Так как $$OB$$ и $$OC$$ — радиусы окружности, то

$$OB=OC=10\text{ см}.$$

Значит,

$$AB=AC=10\text{ см}.$$

Ответ: $$10\text{ см}$$.