Упр.15.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: цилиндр с радиусом основания 5 см и высотой 6 см; на
расстоянии 4 см от оси цилиндра проведено сечение параллельное ей;
Найти: площадь этого сечения;
Решение:
1) Пусть O-центр нижнего основания цилиндра и E-точка на
окружности основания, тогда: OE=R=5 см;
2) Рассмотрим искомое сечение ABCD, оно является прямоугольником,
так как параллельно оси цилиндра;
3) Отметим точку M на пересечении отрезков AB и OE, тогда:
OA=OB=R=5 см, OM перпендикулярен AB и OM=4 см;
4) В прямоугольном треугольнике AOM по теореме Пифагора:
AM=v(OA^2-OM^2 )=v(5^2-4^2 )=v(25-16)=v9=3 см;
5) Треугольник AOB-равнобедренный, значит его высота OM является
и медианой, тогда: AB=2AM=6 см;
6) Отрезки AD и CB являются образующими цилиндра, значит они
равны его высоте: AD=CB=h=6 см;
7) Найдем площадь прямоугольника ABCD:
S=AB•AD=6•6=36 см^2;
Ответ: 36 см^2;

Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна высоте цилиндра:

$$AD=6\text{ см}.$$

Найдём длину основания прямоугольника. Рассмотрим нижнее основание цилиндра с центром $$O$$ и точку $$A$$ на окружности основания. Тогда

$$OA=R=5\text{ см}, \qquad OM=4\text{ см},$$

где $$OM$$ — расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости, а $$M$$ — основание перпендикуляра из $$O$$ на хорду $$AB$$.

В прямоугольном треугольнике $$AOM$$ по теореме Пифагора:

$$ AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\text{ см}. $$

Так как $$\triangle AOB$$ равнобедренный, то высота $$OM$$ является также медианой, значит

$$AB=2AM=6\text{ см}.$$

Тогда площадь сечения:

$$ S=AB\cdot AD=6\cdot 6=36\text{ см}^2. $$

Ответ

$$36\text{ см}^2$$