Упр.14.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая
сторона равна 13 см;
Найти: радиусы описанной R и вписанной r окружностей;
Решение:
1) Пусть a=10 см и b=13 см-стороны данного треугольника;
2) Воспользуемся формулами, полученными в предыдущей задаче;
3) Найдем радиус описанной окружности.

Подробный ответ

Пусть $$a=10$$ см — основание равнобедренного треугольника, $$b=13$$ см — его боковая сторона.

Используем формулы для равнобедренного треугольника:

$$R=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}, \qquad r=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2b-a}{2b+a}}.$$

Найдём радиус описанной окружности:

$$ R=\frac{13^2}{\sqrt{4\cdot 13^2-10^2}} =\frac{169}{\sqrt{676-100}} =\frac{169}{\sqrt{576}} =\frac{169}{24} =7\frac{1}{24}\text{ см}. $$

Найдём радиус вписанной окружности:

$$ r=\frac{10}{2}\sqrt{\frac{2\cdot 13-10}{2\cdot 13+10}} =5\sqrt{\frac{16}{36}} =5\cdot \frac{4}{6} =\frac{10}{3} =3\frac{1}{3}\text{ см}. $$