Упр.6.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах. Найдите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м.

Пусть $$ABC$$ — данный равнобедренный прямоугольный треугольник, где $$\angle B=90^\circ$$, а $$FEA_1C_1$$ — вписанный квадрат.

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный и прямоугольный, то

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$

В квадрате $$FEA_1C_1$$ имеем

$$FE=EA_1=A_1C_1=C_1F.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AFC_1$$. В нём $$\angle F=90^\circ$$ и $$\angle A=45^\circ$$, значит, $$\angle C_1=45^\circ$$. Следовательно, треугольник $$AFC_1$$ равнобедренный, поэтому

$$AF=C_1F.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$CEA_1$$ угол при $$C$$ равен $$45^\circ$$, значит, этот треугольник тоже равнобедренный, и

$$CE=EA_1.$$

Обозначим сторону квадрата через $$x$$. Тогда

$$FE=EA_1=C_1F=x,$$

а гипотенуза треугольника равна

$$AC=AF+FE+EC=x+x+x=3x.$$

По условию $$AC=3$$ м, значит

$$3x=3,\qquad x=1.$$

Следовательно, сторона квадрата равна $$1$$ м.

Ответ: $$1$$ м.