Упр.5.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

46. На данной прямой найдите точку, равноудалённую от двух данных точек.

Пусть даны точки $$A$$ и $$B$$ и прямая $$a$$.

Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$:

• из точек $$A$$ и $$B$$ проведём окружности одинакового радиуса $$AB$$;
• соединим точки их пересечения прямой.

Полученная прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$. По свойству серединного перпендикуляра любая его точка равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$.

Тогда искомая точка — это точка пересечения прямой $$a$$ с серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$. Обозначим её $$X$$.

Следовательно, $$XA=XB$$, значит, точка $$X$$ равноудалена от данных точек $$A$$ и $$B$$.

Ответ: точка $$X$$ — пересечение прямой $$a$$ с серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$.