Упр.1.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: прямая AB пересекает отрезок CD; отрезок CD пересекает
прямую AB;
Доказать: отрезки AB и CD пересекаются;
Доказательство:
1) Если отрезок CD пересекается с прямой AB, то точка пересечения
прямых AB и CD принадлежит отрезку CD;
2) Если отрезок AB пересекается с прямой CD, то точка пересечения
прямых AB и CD принадлежит отрезку AB;
3) Таким образом, отрезки AB и CD пересекаются в точке пересечения
прямых AB и CD, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Обозначим через $$X$$ точку пересечения прямых $$AB$$ и $$CD$$. Такая точка существует, так как по условию прямая $$AB$$ пересекает отрезок $$CD$$, а значит, прямые $$AB$$ и $$CD$$ не параллельны.

Так как прямая $$AB$$ пересекает отрезок $$CD$$, то точка $$X$$ принадлежит отрезку $$CD$$.

Так как отрезок $$AB$$ пересекает прямую $$CD$$, то та же точка $$X$$ принадлежит отрезку $$AB$$.

Следовательно, точка $$X$$ принадлежит одновременно обоим отрезкам $$AB$$ и $$CD$$, значит, отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются.