Упр.4.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

4-46. Высоты треугольника $$ABC$$, проведённые из вершин $$A$$ и $$C$$, пересекаются в точке $$M$$. Найдите угол $$\angle AMC$$, если $$\angle A=70^\circ$$, $$\angle C=80^\circ$$.

Так как $$AA_1$$ и $$CC_1$$ — высоты, то

$$\angle AA_1C=90^\circ,\qquad \angle ACC_1=90^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. Тогда

$$\angle ACM= \angle ACC_1=90^\circ-\angle A=90^\circ-70^\circ=20^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1C$$. Тогда

$$\angle MAC=\angle AA_1C?$$

Угол при вершине $$A$$ в треугольнике $$AMC$$ равен

$$\angle MAC=90^\circ-\angle C=90^\circ-80^\circ=10^\circ.$$

Теперь в треугольнике $$AMC$$ имеем

$$\angle AMC=180^\circ-\angle ACM-\angle MAC.$$

Следовательно,

$$\angle AMC=180^\circ-20^\circ-10^\circ=150^\circ.$$

Ответ: $$150^\circ$$.