Упр.15.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Высота цилиндра $$6\ \text{см}$$, радиус основания $$5\ \text{см}$$. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии $$4\ \text{см}$$ от неё.

Пусть $$O$$ — центр основания цилиндра, а $$ABCD$$ — искомое сечение. Так как сечение проведено параллельно оси цилиндра, то оно является прямоугольником.

Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Проведём из центра $$O$$ перпендикуляр $$OM$$ к стороне $$AB$$. Тогда $$OM=4$$ см, а радиус основания $$OA=OB=5$$ см.

В прямоугольном треугольнике $$AOM$$ по теореме Пифагора:

$$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\text{ см}.$$

Так как треугольник $$AOB$$ равнобедренный, то высота $$OM$$ является и медианой, значит

$$AB=2AM=2\cdot 3=6\text{ см}.$$

Высота прямоугольника $$ABCD$$ равна высоте цилиндра:

$$AD=6\text{ см}.$$

Тогда площадь сечения:

$$S_{ABCD}=AB\cdot AD=6\cdot 6=36\text{ см}^2.$$

Ответ: $$36\text{ см}^2$$.