Упр.14.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите радиус $$r$$ вписанной и радиус $$R$$ описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием $$10\text{ см}$$ и боковой стороной $$13\text{ см}$$.

Пусть $$a=10$$ см — основание, $$b=13$$ см — боковая сторона равнобедренного треугольника.

Для радиусов описанной и вписанной окружностей используем формулы:

$$R=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}, \qquad r=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2b-a}{2b+a}}.$$

Найдём радиус описанной окружности:

$$R=\frac{13^2}{\sqrt{4\cdot 13^2-10^2}} =\frac{169}{\sqrt{676-100}} =\frac{169}{\sqrt{576}} =\frac{169}{24} =7\frac{1}{24}\text{ см}.$$

Найдём радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{10}{2}\sqrt{\frac{2\cdot 13-10}{2\cdot 13+10}} =5\sqrt{\frac{16}{36}} =5\cdot \frac{4}{6} =\frac{10}{3} =3\frac{1}{3}\text{ см}.$$

Ответ: $$R=7\frac{1}{24}\text{ см},\quad r=3\frac{1}{3}\text{ см}.$$