Упр.11.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Биссектриса внешнего угла треугольника ABC при вершине C пересекает прямую AB в точке D (рис. 263). Докажите, что $$AD:BD=AC:BC$$.

Подробный ответ

Пусть на луче $$AC$$ за точкой $$C$$ отмечена точка $$F$$. Через точку $$B$$ проведём прямую $$BE$$, параллельную прямой $$DC$$, и пусть она пересекает прямую $$AC$$ в точке $$E$$.

Так как $$DC \parallel BE$$, то

$$\angle BEC=\angle DCF$$

как соответственные углы при секущей $$AC$$, а также

$$\angle EBC=\angle DCB$$

как внутренние накрест лежащие углы при секущей $$BC$$.

Поскольку $$CD$$ — биссектриса внешнего угла $$BCF$$, имеем

$$\angle DCF=\angle DCB.$$

Следовательно, $$\angle BEC=\angle EBC$$, значит, треугольник $$BCE$$ равнобедренный, и потому

$$BC=CE.$$

Теперь применим теорему о пропорциональных отрезках для параллельных прямых $$DC$$ и $$BE$$:

$$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{CE}.$$

Так как $$CE=BC$$, получаем