Упр.9.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- 9.45. Докажите, что ромбы равны, если у них равны диагонали.
Пусть даны ромбы $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$, у которых равны диагонали:
$$AC=A_1C_1,\qquad BD=B_1D_1.$$
Обозначим точки пересечения диагоналей через $$O$$ и $$O_1$$ соответственно. В ромбе диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам, значит
$$AC\perp BD,\qquad A_1C_1\perp B_1D_1,$$
$$BO=OD,\qquad B_1O_1=O_1D_1.$$
Совместим отрезки $$AC$$ и $$A_1C_1$$ так, чтобы точка $$A$$ совпала с точкой $$A_1$$, а точка $$C$$ — с точкой $$C_1$$. Тогда середины этих отрезков тоже совпадут, то есть $$O$$ совпадёт с $$O_1$$.
Через точку $$O$$ проведём перпендикуляр к прямой $$AC$$. На нём точки $$B$$ и $$D$$ должны лежать на расстоянии $$BO$$ от точки $$O$$, а точки $$B_1$$ и $$D_1$$ — на расстоянии $$B_1O_1$$ от точки $$O_1$$. Но
$$BO=B_1O_1,$$
так как половины равных диагоналей ромбов равны.
На каждой из двух полупрямых перпендикуляра к $$AC$$ из точки $$O$$ можно отложить только один отрезок данной длины. Поэтому $$B$$ совпадает с $$B_1$$, а $$D$$ — с $$D_1$$.
Следовательно, при совмещении совпадают все вершины ромбов $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$. Значит, эти ромбы равны.
