Упр.6.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- В квадрат (рис. 146) вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.
Пусть $$ABCD$$ — данный квадрат, а $$EFGH$$ — вписанный в него прямоугольник. Обозначим через $$M$$ и $$K$$ точки пересечения диагонали $$AC$$ со сторонами прямоугольника.
Так как в квадрате диагональ является биссектрисой углов, то
$$\angle FAK=\angle KAE=\angle GCM=\angle MCH.$$
Кроме того, $$AC\perp BD$$, а по условию стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата, значит $$GH\parallel BD$$ и потому $$AC\perp GH$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$GCH$$. Отрезок $$CM$$ — его высота и биссектриса, следовательно, $$\triangle GCH$$ равнобедренный, а значит
$$MG=MC=MH.$$
Аналогично для треугольника $$FAE$$ получаем
$$FK=AK=ME.$$
Так как $$FE=GH$$, то из равенств выше следует
$$GH=GM+MH=MC+AK.$$
Обозначим $$MC=AK=x$$. Тогда
$$GH=x+x=2x.$$
Четырёхугольник $$FGMK$$ — прямоугольник, так как его стороны параллельны диагоналям квадрата, а диагонали квадрата перпендикулярны. Поэтому
$$FG=KM.$$
Диагональ квадрата раскладывается на три отрезка:
$$AC=MC+AK+KM=x+x+2x=4x.$$
Но $$AC=12$$ м, значит
$$4x=12,\qquad x=3\text{ м}.$$
Тогда стороны прямоугольника равны
$$GH=2x=6\text{ м},\qquad FG=2x=6\text{ м}.$$
Ответ: $$6\text{ м}$$ и $$6\text{ м}$$.
