Упр.13.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Решите предыдущую задачу, если окружности расположены вне данной окружности. Вне окружности радиуса $$R$$ расположены $$n$$ равных окружностей, которые касаются друг друга и данной окружности. Найдите радиусы этих окружностей, если их число равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.
Пусть $$O$$ — центр данной окружности радиуса $$R$$, а $$O_1, O_2, \dots, O_n$$ — центры равных окружностей радиуса $$r$$.
Так как все эти окружности попарно касаются, то точки $$O_1, O_2, \dots, O_n$$ являются вершинами правильного $$n$$-угольника, а точка $$O$$ — его центр.
Действительно, если одна из окружностей касается данной в точке $$D$$, то радиусы $$OD$$ и $$O_1D$$ лежат на одной прямой, поэтому
$$OO_1=OD+O_1D=R+r.$$
Значит, расстояние от центра $$O$$ до каждой вершины правильного $$n$$-угольника равно $$R+r$$. Тогда для его стороны имеем
$$O_1O_2=2(R+r)\sin\frac{180^\circ}{n}.$$
Но окружности равны и касаются друг друга, следовательно
$$O_1O_2=2r.$$
Отсюда
$$2(R+r)\sin\frac{180^\circ}{n}=2r,$$
$$R\sin\frac{180^\circ}{n}+r\sin\frac{180^\circ}{n}=r,$$
$$R\sin\frac{180^\circ}{n}=r\left(1-\sin\frac{180^\circ}{n}\right),$$
$$r=\frac{R\sin\frac{180^\circ}{n}}{1-\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$
Теперь подставим значения $$n$$.
1) При $$n=3$$:
$$r=\frac{R\sin 60^\circ}{1-\sin 60^\circ}=\frac{R\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{1-\frac{\sqrt3}{2}}=R(2\sqrt3+3).$$
2) При $$n=4$$:
$$r=\frac{R\sin 45^\circ}{1-\sin 45^\circ}=\frac{R\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{1-\frac{\sqrt2}{2}}=R(\sqrt2+1).$$
3) При $$n=6$$:
$$r=\frac{R\sin 30^\circ}{1-\sin 30^\circ}=\frac{R\cdot \frac12}{1-\frac12}=R.$$
Ответ
$$1)\; R(2\sqrt3+3);\quad 2)\; R(\sqrt2+1);\quad 3)\; R.$$
