Упр.7.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: гипотенуза прямоугольного треугольника равна a, а один из
острых углов равен бетта;
Найти: другой острый угол и катеты;
Решение:
1) Пусть ABC-данный треугольник с прямым углом C, у которого:
AB=a и угол B=бетта;
2) По теореме о сумме углов в треугольнике: угол A=90°- угол B=90°-угол B;
3) По определению синуса и косинуса угла:
sin угла B=AC/AB, отсюда AC=AB•sin угла B=a•sina;
cos угла B=BC/AB, отсюда BC=AB•cos угла B=a•cosa;

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный треугольник, где $$\angle C=90^\circ$$, $$AB=a$$ и $$\angle B=\alpha$$.

Тогда по теореме о сумме углов треугольника

$$\angle A=180^\circ-90^\circ-\alpha=90^\circ-\alpha.$$

Найдём катеты через синус и косинус угла $$B$$:

$$\sin \angle B=\frac{AC}{AB}, \quad AC=AB\cdot \sin \angle B=a\sin\alpha,$$

$$\cos \angle B=\frac{BC}{AB}, \quad BC=AB\cdot \cos \angle B=a\cos\alpha.$$