Упр.6.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: в квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне
квадрата лежит одна вершина прямоугольника, а стороны прямоу-
гольника параллельны диагоналям квадрата; одна сторона прямоу-
гольника вдвое больше другой; диагональ квадрата равна 12 м;
Найти: стороны прямоугольника;
Решение:
1) Пусть ABCD-данный квадрат, EFGH-вписанный в него прямоу-
гольник, а M, K-точки пересечения диагонали AC и сторон EFGH;
2) По свойтсвам квадрата:
угол FAK = углу KAE = углу GCM = углу MCH (так как AC-биссектриса угол A и угол C);
AC перпендикулярен BD, а так как GH||BD (по условию), то AC перпендикулярен GH;
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник GCH:
MC-высота и биссектриса, следовательно треугольник GCH-равнобедренный
с основанием GH, отсюда MG=MC=MH;
4) Аналогично для треугольник FAE доказывается, что FK=AK=ME;
5) Так как FE=GH, GM=MH и FK=FE, то AK=MC;
6) GH=GM+MH=MC+AK;
7) FGMK является прямоугольником, так как его стороны FK и GM
параллельны прямой BD, которая перпедикулярна прямой AC, отсюда
FG=KM;
8) Примем x за единичный отрезок, тогда:
GH=MC+AK=x и FG=KM=2x;
9) AC=MC+AK+KM=x+2x=3x;
3x=12, отсюда x=12/3=4 м;
10) FE=GH=4 м и EH=FG=2•4=8 м;
Ответ: 4 м и 8 м.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный квадрат, а $$EFGH$$ — вписанный в него прямоугольник. Обозначим через $$M$$ и $$K$$ точки пересечения диагонали $$AC$$ со сторонами прямоугольника.

В квадрате диагональ $$AC$$ является биссектрисой углов $$A$$ и $$C$$, поэтому

$$\angle FAK=\angle KAE=\angle GCM=\angle MCH.$$

Кроме того, $$AC \perp BD$$, а по условию стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата, значит $$GH \parallel BD$$. Следовательно, $$AC \perp GH$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$GCH$$. Прямая $$CM$$ является в нём и высотой, и биссектрисой, значит треугольник $$GCH$$ равнобедренный. Тогда

$$MG=MC=MH.$$

Аналогично для треугольника $$FAE$$ получаем:

$$FK=AK=KE.$$

Так как противоположные стороны прямоугольника равны, то $$FE=GH$$. Из равенств $$MG=MH$$ и $$FK=KE$$ следует, что

$$GH=GM+MH=MC+AK.$$

Четырёхугольник $$FGMK$$ — прямоугольник, так как его стороны параллельны диагоналям квадрата, а $$BD \perp AC$$. Поэтому

$$FG=KM.$$

Пусть $$GH=x$$. Тогда по условию одна сторона прямоугольника вдвое больше другой, значит

$$FG=KM=2x.$$

Диагональ квадрата состоит из отрезков $$MC$$, $$AK$$ и $$KM$$, поэтому

$$AC=MC+AK+KM=x+2x=3x.$$

Так как $$AC=12$$ м, получаем