Упр.9.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- 9.44. У параллелограммов $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ $$AB=A_1B_1$$, $$AD=A_1D_1$$ и $$\angle A=\angle A_1$$. Докажите, что параллелограммы равны, т. е. совмещаются движением.
Рассмотрим параллелограммы $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$.
По условию $$AB=A_1B_1$$, $$AD=A_1D_1$$ и $$\angle A=\angle A_1$$.
Совместим угол $$A_1$$ с равным ему углом $$A$$ так, чтобы вершина $$A_1$$ совпала с вершиной $$A$$, луч $$A_1B_1$$ — с лучом $$AB$$, а луч $$A_1D_1$$ — с лучом $$AD$$.
Тогда на совпавших лучах от точки $$A$$ отложены равные отрезки: $$AB=A_1B_1$$ и $$AD=A_1D_1$$. Значит, точки $$B$$ и $$B_1$$ совпадают, а также совпадают точки $$D$$ и $$D_1$$.
Остаётся показать, что совпадают точки $$C$$ и $$C_1$$. Но в параллелограмме четвертая вершина определяется как точка пересечения прямой, проведённой через $$B$$ параллельно $$AD$$, и прямой, проведённой через $$D$$ параллельно $$AB$$. Через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной, а две прямые пересекаются только в одной точке. Поэтому точки $$C$$ и $$C_1$$ совпадают.
Следовательно, при движении совпадают все вершины параллелограммов $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$. Значит, эти параллелограммы равны.
