Упр.13.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найдите радиусы этих окружностей, если число их равно:
1) 3; 2) 4; 3) 6 (рис. 295).
Дано: внутри окружности радиуса R расположены n равных окружностей,
которые касаются друг друга и данной окружности;
Найти: радиусы этих окружностей, если их число равно 1) 3; 2) 4; 3) 6;
Решение:
1) Пусть O-центр окружности радиуса R, точки O1, O2, O3…On-центры
остальных окружностей, а r-их радиусы;
2) Построим n-угольник с вершинами в точках O1, O2, O3…On;
3) Отметим точку M1 касания окружностей с центрами в точках O1 и O2;
4) Так как эти окружности касаются, то через точку M1 проходит их общая
касательная, перпендикулярная их радиусам, значит точки O1, M1 и O2
лежат на одной прямой O1 O2, то есть на стороне n- угольника, при этом:
O1 M1=O2 M1=r , значит O1 O2=2r;
5) Аналогично доказывается, что все остальные стороны n- угольника
равны 2r, а точкой касания окружностей с центрами в вершинах этих
сторон делятся пополам, в том числе:
On O1=2r, On Mn=Mn O1=r и O2 O3=2r, O2 M2=M2 O3=r;
6) Серединные перпендикуляры двух соседних сторон n-угольника
пересекаются в некоторой точке E;
7) Рассмотрим прямоугольные треугольники O1 M1 E и O1 Mn E:
O1 M1=O1 Mn=r и O1 E-общая гипотенуза, значит эти треугольники
равны, отсюда: угол M1 O1 E = углу Mn O1 E и M1 E=Mn E;
8) Аналогично доказывается, что: угол M1 O2 E = углу M2 O2 E и M2 E=M1 E;
9) В треугольнике O1 O2 E отрезок M1 E является медианой и высотой,
значит этот треугольник равнобедренный, отсюда:
угол EO1 M1 = углу M1 O2 E;
угол M1 O1 E = углу Mn O1 E = углу M1 O2 E = углу M2 O2 E;
угол On O1 O2 = углу O1 O2 O3;
10) Аналогично доказывается, что любые углы при соседних вершинах
данного n-угольника равны, а так как все его стороны равны, то он
является правильным;
11) Лучи O1 E, O2 E, …, On E являются биссектрисами n- угольника,
значит точка E-его центр;
12) Окружности с центрами в точках O1 и O касаются в некоторой точке D,
значит через эту точку проходит их общая касательная, перпендикулярная
их радиусам, следовательно точки O1, D и O лежат на одной прямой OD:
OD=R и O1 D=r, тогда O1 O=OD-O1 D=R-r;
13) Аналогично доказывается, что все остальные точки O1, O2, O3, …, On
удалены от точки O на расстояние (R-r), следовательно точка O
совпадает с точкой E;
14) Радиус окружности, описанной около n-угольника:
OO1=an/(2•sin(180°)/n?)=2r/(2•sin(180°)/n?)=r/sin(180°)/n? ;
15) Найдем радиус окружностей с центрами в точках O1, O2, …, On

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр большой окружности радиуса $$R$$, а через $$O_1, O_2, \dots, O_n$$ — центры равных внутренних окружностей радиуса $$r$$.

Так как соседние окружности касаются, то расстояние между их центрами равно $$2r$$. Следовательно, точки $$O_1, O_2, \dots, O_n$$ являются вершинами правильного $$n$$-угольника со стороной $$2r$$.

Пусть $$E$$ — центр этого правильного $$n$$-угольника. Тогда

$$OO_1=\frac{2r}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}=\frac{r}{\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

С другой стороны, центры большой и малой окружностей, касающихся друг друга, и точка касания лежат на одной прямой, поэтому

$$OO_1=R-r.$$

Получаем уравнение:

$$R-r=\frac{r}{\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

Отсюда

$$R=r\left(1+\frac{1}{\sin\frac{180^\circ}{n}}\right),$$

$$r=\frac{R}{1+\frac{1}{\sin\frac{180^\circ}{n}}}.$$

Теперь подставим значения $$n$$.

1) Если $$n=3$$, то

$$r=\frac{R}{1+\frac{1}{\sin 60^\circ}}=\frac{R}{1+\frac{2}{\sqrt3}}=\frac{R\sqrt3}{\sqrt3+2}.$$