Упр.5.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Докажите, что:
- прямые, содержащие высоты данного треугольника, являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника, образованного прямыми, проходящими через вершины данного треугольника параллельно соответствующим противолежащим сторонам;
- все три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, а $$A_1B_1C_1$$ — треугольник, образованный прямыми, проходящими через вершины $$A,B,C$$ параллельно противолежащим сторонам.
1)
Докажем, что прямая, содержащая высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$, является серединным перпендикуляром к стороне $$A_1C_1$$ треугольника $$A_1B_1C_1$$.
Так как $$A_1C_1 \parallel AC$$, то из $$BH \perp AC$$ следует, что $$BH \perp A_1C_1$$.
Осталось доказать, что точка $$H$$ — середина отрезка $$A_1C_1$$. Рассмотрим треугольники $$ABC_1$$ и $$CBA_1$$.
Имеем:
$$\angle ABC_1=\angle BAC$$, так как $$BC_1 \parallel AC$$;
$$\angle ACB_1=\angle CBA$$, так как $$BA_1 \parallel AB$$;
$$BC_1=AC$$ и $$BA_1=AC$$, поскольку соответствующие стороны параллельных построений равны.
Следовательно, $$\triangle ABC_1 \cong \triangle CBA_1$$ по двум углам и стороне между ними. Отсюда $$BC_1=BA_1$$.
Значит, точка $$B$$ равноудалена от точек $$A_1$$ и $$C_1$$, а прямая $$BH$$, перпендикулярная $$A_1C_1$$, проходит через её середину. Следовательно, $$BH$$ — серединный перпендикуляр к $$A_1C_1$$.
Аналогично доказывается, что прямые, содержащие две другие высоты треугольника $$ABC$$, являются серединными перпендикулярами к двум другим сторонам треугольника $$A_1B_1C_1$$.
2)
Из пункта 1 следует, что все три прямые, содержащие высоты треугольника $$ABC$$, являются серединными перпендикулярами сторон треугольника $$A_1B_1C_1$$.
Серединные перпендикуляры сторон любого треугольника пересекаются в одной точке — в центре описанной окружности. Значит, все три высоты треугольника $$ABC$$ пересекаются в одной точке.
Ответ
Прямые, содержащие высоты треугольника, являются серединными перпендикулярами к сторонам построенного треугольника; следовательно, все три высоты пересекаются в одной точке.
