Упр.15.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объём пирамиды?

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает от неё меньшую пирамиду, подобную данной.

Так как плоскость проходит через середину высоты, то высота отсечённой пирамиды равна половине высоты всей пирамиды, значит коэффициент подобия равен

$$k=\frac{h_1}{h}=\frac{1}{2}.$$

Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:

$$\frac{V_1}{V}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}.$$

Следовательно, объём отсечённой пирамиды равен $$\frac{1}{8}V,$$ а объём оставшейся части равен

$$V-\frac{1}{8}V=\frac{7}{8}V.$$

Значит, плоскость делит объём пирамиды в отношении

$$\frac{1}{8}V:\frac{7}{8}V=1:7.$$

Ответ: $$1:7$$.