Упр.14.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Боковая сторона равнобедренного треугольника $$6\text{ см}$$, высота, проведённая к основанию, $$4\text{ см}$$. Найдите радиус описанной окружности.

Пусть $$ABC$$ — данный равнобедренный треугольник, где $$AB=BC=6$$ см, а $$BH$$ — высота, проведённая к основанию $$AC$$, причём $$BH=4$$ см.

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:

$$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{ см}.$$

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то высота $$BH$$ является также медианой. Значит,

$$AC=2AH=4\sqrt{5}\text{ см}.$$

Найдём площадь треугольника:

$$S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 4\sqrt{5}\cdot 4=8\sqrt{5}\text{ см}^2.$$

Радиус описанной окружности треугольника равен

$$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S} =\frac{6\cdot 6\cdot 4\sqrt{5}}{4\cdot 8\sqrt{5}} =\frac{36}{8}=4{,}5\text{ см}.$$

Ответ: $$4{,}5$$ см.