Упр.13.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Внутри окружности радиуса $$R$$ расположены $$n$$ равных окружностей, которые касаются друг друга и данной окружности. Найдите радиусы этих окружностей, если число их равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6 (рис. 295).

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр большой окружности радиуса $$R$$, а $$O_1, O_2, \ldots, O_n$$ — центры равных внутренних окружностей радиуса $$r$$.

Соединим центры соседних окружностей. Так как окружности касаются, то расстояние между соседними центрами равно $$2r$$. Значит, точки $$O_1, O_2, \ldots, O_n$$ — вершины правильного $$n$$-угольника со стороной $$2r$$.

Центр этого правильного многоугольника совпадает с центром большой окружности $$O$$. Тогда радиус описанной около правильного $$n$$-угольника окружности равен $$OO_1$$, а для правильного $$n$$-угольника

$$OO_1=\frac{2r}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}=\frac{r}{\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

С другой стороны, центр $$O_1$$ внутренней окружности лежит на отрезке $$OD$$, где $$D$$ — точка касания этой окружности с большой окружностью. Поэтому

$$OO_1=R-r.$$

Следовательно,

$$R-r=\frac{r}{\sin\frac{180^\circ}{n}},$$
$$r\left(1+\frac{1}{\sin\frac{180^\circ}{n}}\right)=R,$$
$$r=\frac{R}{1+\frac{1}{\sin\frac{180^\circ}{n}}}.$$

Теперь подставим значения $$n$$.

$$1)\quad n=3:\quad r=\frac{R}{1+\frac{1}{\sin 60^\circ}} =\frac{R}{1+\frac{2}{\sqrt3}} =\frac{R\sqrt3}{\sqrt3+2}.$$

$$2)\quad n=4:\quad r=\frac{R}{1+\frac{1}{\sin 45^\circ}} =\frac{R}{1+\frac{\sqrt2}{1}} =\frac{R}{\sqrt2+1}.$$

$$3)\quad n=6:\quad r=\frac{R}{1+\frac{1}{\sin 30^\circ}} =\frac{R}{1+2} =\frac{R}{3}.$$