Упр.5.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

I) Отобразим условие задачи:
Доказать: около любого треугольника можно описать окружность
и только одну;
Доказательство:
1) Обозначим через O точку пересечения серединных перпендикуляров
к сторонам AC и BC данного треугольника;
2) По теореме о геометрическом месте точек, равноудаленных от двух
данных точек, точка O равноудалена как от вершин A и C, так и от
вершин B и C;
3) Значит точка O равноудалена от всех вершин треугольника ABC,
причем точка O лежит на серединных перпендикулярах к сторонам
AC и BC, значит около любого треугольника можно описать окружность;
4) Так как серединные перпендикуляры пересекаются только в одной
точке, то такая окружность единственная, что и требовалось доказать.
II) Отобразим условие задачи:
Доказать: в любой треугольник можно вписать окружность и только
одну;
Доказательство:
1) Докажем, что каждая точка биссетрисы равноудалена от сторон угла:
— Из произвольной точки O опустим перпендикуляры OH1 и OH2 на
стороны AB и AC угла BAC;
— Треугольники AOH1 и AOH2 равны по гипотенузе и острому углу,
отсюда OH1=OH2, то есть точка O равноудалена от сторон угла BAC;
2) Обозначим через O точку пересечения биссеткрис AA1 и CC1;
3) По доказаному в пункте 1, точка O равноудалена от сторон AB и
BC и от сторон AC и BC:
4) Значит точка O равноудалена от всех сторон треугольника ABC,
причем точка O лежит на биссектрисах AA1 и CC1 треугольника, значит
в любой треугольник можно вписать окружность;
5) Так как сбиссеткрисы треугольника пересекаются только в одной
точке, то такая окружность единственная, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

1) Около любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Обозначим через $$O$$ точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$.

Так как точка $$O$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AC$$, то $$OA=OC$$. Аналогично, из принадлежности точки $$O$$ серединному перпендикуляру к отрезку $$BC$$ получаем $$OB=OC$$.

Следовательно, $$OA=OB=OC$$, то есть точка $$O$$ равноудалена от всех вершин треугольника $$ABC$$. Значит, окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA$$ проходит через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$, то есть около треугольника можно описать окружность.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, поэтому центр описанной окружности единственный. Следовательно, описанная окружность единственна.

2) В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Докажем сначала, что каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Пусть $$O$$ — произвольная точка биссектрисы угла $$BAC$$. Опустим из точки $$O$$ перпендикуляры $$OH_1$$ и $$OH_2$$ на стороны $$AB$$ и $$AC$$.

Треугольники $$AOH_1$$ и $$AOH_2$$ прямоугольные, у них общая гипотенуза $$AO$$ и равны острые углы при вершине $$A$$, так как $$AO$$ — биссектриса угла $$BAC$$. Значит, $$\triangle AOH_1 \cong \triangle AOH_2$$, откуда $$OH_1=OH_2$$.

Итак, любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

Теперь обозначим через $$O$$ точку пересечения биссектрис углов $$A$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$. Тогда точка $$O$$ равноудалена от сторон $$AB$$ и $$AC$$, а также от сторон $$AC$$ и $$BC$$. Следовательно, она равноудалена от всех сторон треугольника $$ABC$$.

Значит, окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом, равным расстоянию от $$O$$ до любой стороны треугольника, касается всех трёх сторон, то есть в треугольник можно вписать окружность.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому центр вписанной окружности единственный. Следовательно, вписанная окружность единственна.