Упр.1.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекать каждую его сторону? Почему?

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, а прямая $$a$$ не проходит ни через одну из его вершин.

Прямая $$a$$ делит плоскость на две полуплоскости. Если бы она пересекала каждую сторону треугольника, то концы каждой стороны лежали бы в разных полуплоскостях. Тогда точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ должны были бы распределиться по двум полуплоскостям так, чтобы каждая из сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$ имела концы по разные стороны от прямой $$a$$.

Но это невозможно: среди трёх вершин треугольника хотя бы две обязательно окажутся в одной и той же полуплоскости, а значит, соединяющий их отрезок не пересечёт прямую $$a$$.

Следовательно, прямая, не проходящая через вершины треугольника, не может пересекать все три его стороны.

Ответ: не может.