Упр.15.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 43. Найдите объём усечённой пирамиды с площадями оснований Q1 и Q2 (Q1 > Q2) и высотой h. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 15-43 76
Обозначим площади оснований усечённой пирамиды через $$Q_1$$ и $$Q_2$$, где $$Q_1>Q_2$$, а высоту — через $$h$$.
Продолжим усечённую пирамиду до полной пирамиды. Тогда получатся две подобные пирамиды: большая с основанием площади $$Q_1$$ и меньшая с основанием площади $$Q_2$$.
Пусть коэффициент подобия этих пирамид равен $$k$$. Тогда отношение площадей оснований равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{Q_1}{Q_2}=k^2,\qquad k=\sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}.$$
Обозначим высоту меньшей пирамиды через $$h_2$$, а большей — через $$h_1$$. Тогда
$$h=h_1-h_2,$$
и, так как пирамиды подобны,
$$h_1=kh_2.$$
Следовательно,
$$h=kh_2-h_2=h_2(k-1),$$
откуда
$$h_2=\frac{h}{k-1}.$$
Объём меньшей пирамиды:
$$V_2=\frac{1}{3}Q_2h_2=\frac{1}{3}Q_2\cdot \frac{h}{k-1}.$$
Объёмы подобных пирамид относятся как кубы соответствующих линейных размеров, значит
$$V_1=k^3V_2.$$
Тогда объём усечённой пирамиды равен
$$V=V_1-V_2=V_2(k^3-1).$$
Подставим найденное значение $$V_2$$:
$$ V=\frac{1}{3}Q_2\cdot \frac{h}{k-1}(k^3-1). $$
Так как
$$k^3-1=(k-1)(k^2+k+1),$$
то
$$ V=\frac{1}{3}Q_2h(k^2+k+1). $$
Теперь подставим $$k=\sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}$$:
$$ V=\frac{h}{3}\left(Q_2+\sqrt{Q_1Q_2}+Q_1\right). $$
Ответ
$$V=\frac{h}{3}\left(Q_1+\sqrt{Q_1Q_2}+Q_2\right).$$
