Упр.8.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. 8-43. Докажите, что прямые, заданные уравнениями $$y=kx+l_1$$, $$y=kx+l_2$$, при $$l_1\ne l_2$$ параллельны.

Предположим, что данные прямые не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке $$(x_1; y_1).$$

Так как эта точка принадлежит обеим прямым, её координаты удовлетворяют уравнениям:

$$\begin{cases} y_1 = kx_1 + l_1, \\ y_1 = kx_1 + l_2. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$y_1 — y_1 = (kx_1 + l_1) — (kx_1 + l_2),$$

откуда

$$0 = l_1 — l_2.$$

Следовательно, $$l_1 = l_2,$$ что противоречит условию $$l_1 \ne l_2.$$

Значит, наше предположение неверно, и данные прямые не пересекаются. Поскольку у них одинаковый коэффициент $$k,$$ они параллельны.

Ответ: прямые $$y = kx + l_1$$ и $$y = kx + l_2$$ при $$l_1 \ne l_2$$ параллельны.