Упр.7.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны две окружности с радиусами $$R_1$$, $$R_2$$ и расстоянием между центрами $$d$$. Докажите, что если каждое из чисел $$R_1$$, $$R_2$$ и $$d$$ меньше суммы двух других, то окружности пересекаются в двух точках (рис. 168).

Пусть $$A$$ и $$B$$ — центры данных окружностей, а $$C$$ — одна из точек их пересечения. Тогда

$$AC=R_1,\quad BC=R_2,\quad AB=d.$$

По условию каждое из чисел $$R_1,\ R_2,\ d$$ меньше суммы двух других. Значит, выполняются неравенства треугольника, и существует треугольник $$ABC$$ со сторонами $$AC=R_1$$, $$BC=R_2$$, $$AB=d$$.

Следовательно, точка $$C$$ лежит на обеих окружностях.

Так как $$R_1+R_2\ne d$$, то $$AC+BC\ne AB$$, значит, точка $$C$$ не лежит на прямой $$AB$$. Построим по другую сторону от прямой $$AB$$ точку $$C_1$$ так, чтобы

$$\angle ABC_1=\angle ABC,\qquad \angle BAC_1=\angle BAC.$$

Тогда треугольники $$ABC$$ и $$ABC_1$$ равны по второму признаку равенства треугольников, поэтому

$$AC_1=AC=R_1,\qquad BC_1=BC=R_2.$$

Значит, точка $$C_1$$ тоже лежит на обеих окружностях. Итак, окружности имеют две общие точки $$C$$ и $$C_1$$, то есть пересекаются в двух точках.