Упр.10.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 43. Даны четыре точки А (1; 1), В (2; 3), С (0; 4), D (-1; 2). Докажите, что четырёхугольник ABCD — прямоугольник.

Подробный ответ

Найдём координаты векторов $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{DC}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$:

$$\overrightarrow{AB}=(2-1;\,3-1)=(1;\,2),$$
$$\overrightarrow{DC}=(0-(-1);\;4-2)=(1;\,2),$$
$$\overrightarrow{BC}=(0-2;\,4-3)=(-2;\,1).$$

Так как $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC},$$ то $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD.$$ Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм.

Теперь найдём скалярное произведение векторов $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=1\cdot(-2)+2\cdot1=-2+2=0.$$

Значит, $$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC},$$ то есть $$\angle B=90^\circ.$$ Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.