Упр.5.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Докажите, что:
- около любого треугольника можно описать окружность, и только одну;
- в любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Обозначим через $$O$$ точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$. Тогда по теореме о геометрическом месте точек, равноудалённых от концов отрезка, имеем:
$$OA=OC,\qquad OB=OC.$$
Следовательно, $$OA=OB=OC$$, то есть точка $$O$$ равноудалена от всех вершин треугольника $$ABC$$. Значит, окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA$$ проходит через вершины $$A$$, $$B$$ и $$C$$, то есть около любого треугольника можно описать окружность.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, поэтому центр описанной окружности единственный. Следовательно, описанная окружность единственна.
Докажем теперь, что в любой треугольник можно вписать окружность.
Пусть $$O$$ — точка пересечения биссектрис $$AA_1$$ и $$CC_1$$ треугольника $$ABC$$. Докажем, что точка $$O$$ равноудалена от всех сторон треугольника.
Рассмотрим произвольную точку на биссектрисе угла $$BAC$$. Опустим из неё перпендикуляры на стороны $$AB$$ и $$AC$$. Получим два прямоугольных треугольника, равных по гипотенузе и острому углу, откуда следует равенство соответствующих перпендикуляров. Значит, любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
Так как точка $$O$$ лежит на биссектрисах $$AA_1$$ и $$CC_1$$, то она равноудалена от сторон $$AB$$ и $$AC$$, а также от сторон $$AC$$ и $$BC$$. Следовательно, $$O$$ равноудалена от всех сторон треугольника $$ABC$$.
Значит, окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом, равным расстоянию от $$O$$ до любой стороны треугольника, касается всех трёх сторон, то есть в любой треугольник можно вписать окружность.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому центр вписанной окружности единственный. Следовательно, вписанная окружность единственна.
