Упр.9.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: отрезки равной длины совмещаются движением:
Доказательство:
1) Пусть даны отрезки AB и CD равной длины: AB=CD;
3) Параллельным переносом передвинем отрезок CB так, чтобы
точка C совпала с точкой A, тогда отрезок CD перейдет в отрезок AD’,
при этом по свойству параллельного переноса: AD’=CD=AB;
4) Если повернуть отрезок AD’ около точки A на угол, равный углу BAD’,
то точки B и D’ совпадут;
5) Таким образом, отрезок CD в результате рассмотренного движения
перешел в отрезок AB, что и требовалось доказать.
Доказать: углы с равной градусной мерой совмещаются движением:
Доказательство:
1) Пусть даны равные углы AOB и CO1 D;
3) Параллельным переносом передвинем угол AOB так, чтобы точка O
совпала с точкой O1, тогда угол CO1 D перейдет в угол C’ OD’, при этом
по свойству параллельного переноса: угол C’ OD’ = углу COD = углу AOB;
3) угол C’ OA = углу C’ OD’+ угол AOD’ и угол D’ OB = углу AOB+ угол AOD’, отсюда:
угол C’OA = углу D’OB;
4) Если повернуть угол C’ OD’ около точки O на угол, равный углу C’OA,
то луч OC’ совпадет с лучом OA, а луч OD’-с лучом OB;
5) Таким образом, угол COD в результате рассмотренного движения
перешел в угол AOB, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Докажем сначала утверждение для отрезков.

Пусть даны отрезки $$AB$$ и $$CD$$, причём $$AB=CD$$. Параллельным переносом переместим отрезок $$CD$$ так, чтобы точка $$C$$ совместилась с точкой $$A$$. Тогда отрезок перейдёт в отрезок $$AD’$$, и по свойству параллельного переноса

$$AD’=CD=AB.$$

Теперь повернём отрезок $$AD’$$ вокруг точки $$A$$ на угол $$\angle BAD’$$. При этом точка $$D’$$ совместится с точкой $$B$$. Значит, отрезок $$CD$$ в результате движения совместился с отрезком $$AB$$.

Докажем теперь утверждение для углов.

Пусть даны углы $$\angle AOB$$ и $$\angle C_1O_1D$$, причём $$\angle AOB=\angle C_1O_1D$$. Параллельным переносом переместим угол $$\angle AOB$$ так, чтобы точка $$O$$ совместилась с точкой $$O_1$$. Тогда угол $$\angle AOB$$ перейдёт в угол $$\angle C’O D’$$, и по свойству параллельного переноса

$$\angle C’OD’=\angle C_1O_1D=\angle AOB.$$

Рассмотрим углы $$\angle C’OA$$ и $$\angle D’OB$$. Имеем:

$$\angle C’OA=\angle C’OD’+\angle AOD’,$$

$$\angle D’OB=\angle AOB+\angle AOD’.$$

Так как $$\angle C’OD’=\angle AOB$$, то

$$\angle C’OA=\angle D’OB.$$

Теперь повернём угол $$\angle C’OD’$$ вокруг точки $$O$$ на угол, равный $$\angle C’OA$$. Тогда луч $$OC’$$ совпадёт с лучом $$OA$$, а луч $$OD’$$ — с лучом $$OB$$. Следовательно, угол $$\angle C_1O_1D$$ в результате движения совместился с углом $$\angle AOB$$.

Итак, отрезки равной длины и углы с равной градусной мерой совмещаются движением.