Упр.15.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите объём усечённой пирамиды с площадями оснований $$Q_1$$ и $$Q_2$$ ($$Q_1>Q_2$$) и высотой $$h$$.

Обозначим площади оснований усечённой пирамиды через $$Q_1$$ и $$Q_2$$, где $$Q_1>Q_2$$, а её высоту — через $$h$$.

Рассмотрим полную пирамиду, из которой получена усечённая. Пусть высота большей пирамиды равна $$h_1$$, а меньшей, отсечённой, — $$h_2$$. Тогда

$$h=h_1-h_2.$$

Так как пирамиды подобны, то отношение их линейных размеров равно коэффициенту подобия $$k$$, а отношение площадей оснований равно квадрату этого коэффициента:

$$\frac{Q_1}{Q_2}=k^2,\qquad k=\sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}.$$

Для высот подобных пирамид имеем $$h_1=kh_2$$, значит

$$h=h_1-h_2=kh_2-h_2=h_2(k-1),$$

откуда

$$h_2=\frac{h}{k-1}.$$

Объём меньшей пирамиды:

$$V_2=\frac13Q_2h_2=\frac13Q_2\cdot\frac{h}{k-1}.$$

Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия, поэтому объём большей пирамиды

$$V_1=k^3V_2.$$

Тогда объём усечённой пирамиды равен

$$V=V_1-V_2=V_2(k^3-1)=\frac13Q_2\cdot\frac{h}{k-1}(k^3-1).$$

Так как

$$k^3-1=(k-1)(k^2+k+1),$$

то

$$V=\frac13Q_2h(k^2+k+1).$$

Подставим $$k=\sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}$$:

$$V=\frac{h}{3}\left(Q_1+\sqrt{Q_1Q_2}+Q_2\right).$$

Ответ

$$V=\frac{h}{3}\left(Q_1+\sqrt{Q_1Q_2}+Q_2\right).$$