Упр.8.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: прямые, заданные уравнениями y=kx+l1 и y=kx+l2,
при l1?l2 параллельны;
Доказательство:
1) Допустим, что данные прямые не параллельны, а значит они
пересекаются в некоторой точке (x1; y1);
2) Так как точка пересечения принадлежит каждой из прямых, то ее
координаты являются решением уравнений:
{-(y1=kx1+l1@y1=kx1+l2)+;
3) Вычтем почленно второе уравнение из первого, получим:
y1-y1=kx1-kx1+l1-l2;
0=l1-l2, отсюда l1=l2, что противоречит условию задачи;
4) Следовательно, наше опущение неверно и данные прямые
параллельны, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Допустим, что прямые $$y=kx+l_1$$ и $$y=kx+l_2$$ не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке $$\left(x_1;y_1\right)$$.

Так как эта точка принадлежит обеим прямым, её координаты удовлетворяют обоим уравнениям:

$$ \begin{cases} y_1=kx_1+l_1,\\ y_1=kx_1+l_2. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ y_1-y_1=kx_1-kx_1+l_1-l_2, $$

откуда

$$ 0=l_1-l_2, $$

то есть $$l_1=l_2$$. Это противоречит условию $$l_1\ne l_2$$.

Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $$y=kx+l_1$$ и $$y=kx+l_2$$ параллельны.