Упр.7.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: расстояние между центрами окружностей равно d, а их радиусы
равны R1 и R2, при этом R1+R2 < d, R1+d < R2 и R2+d < R1; Доказать: эти окружности пересекаются в двух точках; Решение: 1) Из неравенств, указанных в условии задачи, а также из доказанного в задаче 7.41 следует, что существует такой треугольник ABC, у которого: AC=R1, BC=R2 и AB=d; 2) Пусть точки A и B являются центрами данных окружностей; 3) Значит, точка C лежит на обеих окружностях, то есть является точкой их пересечения; 4) Так как R1+R2=/=d, то AC+CB?AB, то есть точка C не лежит между точками A и B, значит она лежит в одной из полуплоскостей относительно прямой AB; 5) Построим углы угол ABC1 = углу ABC и угол BAC1 = углу BAC (C1-пересечение вторых сторон этих углов) по другую от точки C; 6) Треугольники ABC и ABC1 равны по второму признаку, отсюда: AC1=AC=R1 и BC1=BC=R2; 7) Таким образом, точка C1 также лежит на обеих окружностях, то есть является второй точкой их пересечения, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть центрами данных окружностей являются точки $$A$$ и $$B$$, а точка $$C$$ — одна из точек их пересечения. Тогда

$$AC=R_1,\quad BC=R_2,\quad AB=d.$$

По условию каждое из чисел $$R_1,\ R_2,\ d$$ меньше суммы двух других. Значит, по признаку существования треугольника существует треугольник $$ABC$$ с указанными сторонами.

Так как $$AC=R_1$$ и $$BC=R_2$$, то точка $$C$$ лежит на обеих окружностях.

Поскольку $$R_1+R_2\ne d$$, имеем $$AC+BC\ne AB$$, следовательно, точка $$C$$ не лежит на прямой $$AB$$ между точками $$A$$ и $$B$$. Она находится в одной из полуплоскостей относительно прямой $$AB$$.

Построим по другую сторону от прямой $$AB$$ точку $$C_1$$ так, чтобы

$$\angle ABC_1=\angle ABC,\qquad \angle BAC_1=\angle BAC.$$

Тогда треугольники $$ABC$$ и $$ABC_1$$ равны по второму признаку равенства треугольников, откуда

$$AC_1=AC=R_1,\qquad BC_1=BC=R_2.$$

Следовательно, точка $$C_1$$ также лежит на обеих окружностях. Значит, данные окружности имеют две общие точки $$C$$ и $$C_1$$, то есть пересекаются в двух точках.