Упр.15.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 42. Боковые рёбра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое равно b. Найдите объём пирамиды.

Пусть $$PABC$$ — данная треугольная пирамида, причём

$$AP \perp BP,\quad BP \perp CP,\quad CP \perp AP,\quad AP=BP=CP=b.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$APB$$. По теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{AP^2+BP^2}=\sqrt{b^2+b^2}=b\sqrt{2}.$$

Аналогично:

$$BC=CA=AB=b\sqrt{2}.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ равносторонний, значит

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,AB^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (b\sqrt{2})^2=\frac{b^2\sqrt{3}}{2}.$$

Высота пирамиды равна

$$h=\sqrt{b^2-\frac{AB^2}{3}}=\sqrt{b^2-\frac{(b\sqrt{2})^2}{3}}=\sqrt{b^2-\frac{2b^2}{3}}=\sqrt{\frac{b^2}{3}}=\frac{b}{\sqrt{3}}.$$

Тогда объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{1}{6}b^3.$$

Ответ

$$\frac{1}{6}b^3$$