Упр.4.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Из вершины тупого угла B в треугольнике ABC проведена высота BD. Найдите углы треугольников ABD и CBD, зная, что угол A = $$\alpha$$, угол B = $$\beta$$.

Так как $$BD$$ — высота, то

$$\angle BDC=\angle BDA=90^\circ.$$

В треугольнике $$ABC$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-(\alpha+\beta).$$

Рассмотрим треугольник $$ABD$$:

$$\angle BAD+\angle ADB+\angle DBA=180^\circ.$$

Так как $$\angle ADB=90^\circ$$ и $$\angle BAD=\alpha$$, получаем

$$\angle DBA=180^\circ-\alpha-90^\circ=90^\circ-\alpha.$$

Теперь найдём угол $$\angle DBC$$:

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC,$$

откуда

$$\angle DBC=\angle ABC-\angle ABD=\beta-(90^\circ-\alpha)=\alpha+\beta-90^\circ.$$

В треугольнике $$CBD$$ угол при вершине $$C$$ равен

$$\angle DCB=180^\circ-\angle BDC-\angle DBC=180^\circ-90^\circ-(\alpha+\beta-90^\circ)=180^\circ-\alpha-\beta.$$

Ответ: $$\angle BDC=\angle BDA=90^\circ,\ \angle BAD=\alpha,\ \angle DBA=90^\circ-\alpha,\ \angle DBC=\alpha+\beta-90^\circ,\ \angle DCB=180^\circ-\alpha-\beta.$$