Упр.14.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Выведите следующие формулы для радиусов описанной (R) и вписанной (r) окружностей треугольника: $$R=\frac{abc}{4S},\qquad r=\frac{2S}{a+b+c},$$ где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь.

Пусть $$\triangle ABC$$ имеет стороны $$AB=c,$$ $$BC=a,$$ $$AC=b,$$ а его площадь равна $$S.$$

1. Формула для радиуса описанной окружности

Обозначим через $$R$$ радиус описанной окружности, а через $$O$$ — её центр. Тогда

$$OA=OB=OC=R.$$

Пусть $$\angle BAC=\alpha.$$ Тогда этот угол вписанный, значит соответствующий центральный угол

$$\angle BOC=2\alpha.$$

В равнобедренном треугольнике $$BOC$$ проведём медиану $$OM$$ к основанию $$BC$$. Она является также высотой и биссектрисой, поэтому

$$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}, \qquad OM\perp BC, \qquad \angle BOM=\alpha.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOM$$. В нём

$$\sin\alpha=\frac{BM}{BO}=\frac{a/2}{R}=\frac{a}{2R},$$

откуда

$$R=\frac{a}{2\sin\alpha}.$$

С другой стороны, площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB\cdot \sin\angle BAC=\frac{1}{2}bc\sin\alpha,$$

значит

$$\sin\alpha=\frac{2S}{bc}.$$

Подставим это в выражение для $$R$$:

$$R=\frac{a}{2\cdot \frac{2S}{bc}}=\frac{abc}{4S}.$$

2. Формула для радиуса вписанной окружности

Пусть $$r$$ — радиус вписанной окружности, а $$O$$ — её центр. Опустим из точки $$O$$ перпендикуляры на стороны треугольника. Тогда расстояния от центра до всех сторон равны:

$$OA_1=OB_1=OC_1=r.$$

Площадь треугольника $$ABC$$ равна сумме площадей треугольников $$OAB,$$ $$OBC$$ и $$OCA$$:

$$S=S_{OAB}+S_{OBC}+S_{OCA} =\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br.$$

Следовательно,

$$S=\frac{1}{2}r(a+b+c),$$

откуда

$$r=\frac{2S}{a+b+c}.$$

Ответ: $$R=\frac{abc}{4S}, \qquad r=\frac{2S}{a+b+c}.$$