Упр.6.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: ABCD-квадрат; на сторонах квадрата отложены равные
отрезки AA1=BB1=CC1=DD1;
Доказать: четырехугольник A1 B1 C1 D1-является квадратом;
Доказательство:
1) ABCD-квадрат, значит: AB=BC=CD=AD;
2) Так как отрезки AA1, BB1, CC1 и DD1 равны, то и отрезки
A1 B, B1 C, C1 D и D1 A также равны;
3) Прямоугольные треугольники BB1 A1, CC1 B1, DD1 C1 и AA1 D1 равны
по двум катетам, отсюда: A1 B1=B1 C1=C1 D1=D1 A1, BA1 B1=
= углу CB1 C1 = углу DC1 D1 = углу AD1 A1 и угол BB1 A1 = углу CC1 B1 = углу DD1 C1 = углу AA1 D1;
4) Так как все стороны четырехугольника A1 B1 C1 D1 равны, то он
является ромбом;
5) Треугольник BB1 A1-прямоугольный, следовательно:
угол BB1 A1+ угол BA1 B1=180°- угол A1 BB1=180°-90°=90°;
6) Докажем, что угол A1 B1 C1-прямой:
угол A1 B1 C1 = углу BB1 C-(угол BB1 A1+ угол C1 B1 C);
угол A1 B1 C1 = углу BB1 C-(угол BB1 A1+ угол BA1 B1)=180°-90°=90°;
7) Аналогично доказыается, что углы B1 C1 D1, C1 D1 A1 и D1 A1 B1 также
являются прямыми;
8) Так как у ромба A1 B1 C1 D1 все углы прямые, то он является квадратом,
что и требуется доказать.

Подробный ответ

Пусть $$AA_1=BB_1=CC_1=DD_1$$.

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то $$AB=BC=CD=DA$$ и все его углы прямые.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AA_1D_1$$, $$BB_1A_1$$, $$CC_1B_1$$ и $$DD_1C_1$$. У них по два катета попарно равны:

$$AA_1=BB_1=CC_1=DD_1,$$
$$A_1D_1=B_1A_1=C_1B_1=D_1C_1.$$

Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам. Отсюда

$$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1.$$

Значит, четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$ — ромб.

Теперь докажем, что один из его углов прямой. В треугольнике $$BB_1A_1$$ угол $$\angle BB_1A_1$$ прямой, поэтому

$$\angle BA_1B_1+\angle BB_1A_1=90^\circ.$$

Аналогично, из равенства соответствующих треугольников получаем, что углы при вершинах $$A_1, B_1, C_1, D_1$$ между соседними сторонами четырёхугольника $$A_1B_1C_1D_1$$ равны между собой и в сумме дают $$360^\circ$$. Тогда каждый из них равен $$90^\circ$$.

Итак, ромб $$A_1B_1C_1D_1$$ имеет прямые углы, значит, он является квадратом.