Упр.9.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

11. Три населённых пункта $$A$$, $$B$$ и $$C$$ расположены в вершинах остроугольного треугольника. Где следует построить комбинат, чтобы сумма расстояний от него до всех трёх пунктов была наименьшей?

Пусть $$K$$ — искомая точка. Покажем, как её найти.

1. Повернём треугольник $$AKB$$ вокруг точки $$A$$ на $$60^\circ$$ так, чтобы образ точки $$B$$ обозначить через $$B_1$$, а образ точки $$K$$ — через $$K_1$$. Тогда $$B_1K_1=BK$$ и $$AK_1=AK$$.
2. Так как $$\angle KAK_1=60^\circ$$ и $$AK=AK_1$$, то треугольник $$AKK_1$$ равносторонний. Следовательно, $$KK_1=AK$$.
3. Тогда
   $$AK+BK+CK=KK_1+B_1K_1+CK=CB_1.$$
   Значит, сумма расстояний от точки $$K$$ до пунктов $$A$$, $$B$$ и $$C$$ равна длине отрезка $$CB_1$$.
4. По неравенству треугольника эта сумма будет наименьшей тогда, когда точки $$C$$, $$K$$ и $$B_1$$ лежат на одной прямой.
5. Аналогично, если повернуть треугольник $$CBK$$ вокруг точки $$B$$ на $$60^\circ$$ и обозначить образ точки $$C$$ через $$C_2$$, то точка $$K$$ должна лежать на прямой $$AC_2$$.

Следовательно, искомая точка $$K$$ — это точка пересечения прямых $$CB_1$$ и $$AC_2$$, где $$B_1$$ и $$C_2$$ получены поворотом отрезков $$AB$$ и $$CB$$ на $$60^\circ$$.

Ответ: комбинат следует построить в точке пересечения прямых $$CB_1$$ и $$AC_2$$.