Упр.8.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

41. Докажите, что три прямые $$x+2y=3$$, $$2x-y=1$$ и $$3x+y=4$$ пересекаются в одной точке.

Пусть $$A(x;y)$$ — точка пересечения первых двух прямых. Тогда её координаты удовлетворяют системе

$$\begin{cases} x+2y=3,\\ 2x-y=1. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$x=3-2y.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$2(3-2y)-y=1,$$

$$6-4y-y=1,$$

$$-5y=-5,$$

откуда $$y=1$$.

Тогда

$$x=3-2\cdot 1=1.$$

Значит, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $$A(1;1)$$.

Проверим, принадлежит ли эта точка третьей прямой:

$$3x+y=3\cdot 1+1=4.$$

Равенство верно, значит, точка $$A(1;1)$$ лежит и на третьей прямой.

Следовательно, все три прямые пересекаются в одной точке $$A(1;1)$$.

Ответ: прямые пересекаются в точке $$A(1;1)$$.