Упр.7.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны три положительных числа $$a$$, $$b$$, $$c$$. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами $$a$$, $$b$$, $$c$$.

Пусть существуют точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ такие, что $$AB=c$$, $$BC=a$$, $$AC=b$$.

По условию задачи каждое из чисел меньше суммы двух других, значит

$$AB<BC+AC,\qquad BC<AB+AC,\qquad AC<AB+BC.$$

Предположим, что точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ не являются вершинами треугольника. Тогда они лежат на одной прямой, и одна из точек должна лежать между двумя другими.

Но:

• $$C$$ не может лежать между $$A$$ и $$B$$, так как тогда было бы $$AB=AC+CB$$, а у нас $$AB<AC+CB$$;
• $$A$$ не может лежать между $$B$$ и $$C$$, так как тогда было бы $$BC=BA+AC$$, а у нас $$BC<BA+AC$$;
• $$B$$ не может лежать между $$A$$ и $$C$$, так как тогда было бы $$AC=AB+BC$$, а у нас $$AC<AB+BC$$.

Следовательно, ни одна из точек не лежит между двумя другими, значит, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ не могут лежать на одной прямой. Тогда они являются вершинами треугольника, у которого стороны равны $$a$$, $$b$$ и $$c$$.

Таким образом, существует треугольник со сторонами $$a$$, $$b$$ и $$c$$, что и требовалось доказать.