Упр.13.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 41. Решите задачу 40 для правильного 12-угольника.

Пусть $$R$$ — радиус описанной окружности, а $$a_{12}$$ — сторона правильного 12-угольника.

Для правильного 12-угольника

$$a_{12}=R\sqrt{2-\sqrt{3}}.$$

Тогда его периметр равен

$$P=12a_{12}=12R\sqrt{2-\sqrt{3}}.$$

Диаметр окружности равен $$d=2R$$, поэтому

$$\frac{P}{d}=\frac{12R\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2R}=6\sqrt{2-\sqrt{3}}.$$

Вычислим приближённо:

$$\sqrt{2-\sqrt{3}}\approx \sqrt{2-1{,}73}=\sqrt{0{,}27}\approx 0{,}519,$$

откуда

$$\frac{P}{d}\approx 6\cdot 0{,}519\approx 3{,}11.$$

Сравним с $$\pi\approx 3{,}14$$: полученное отношение меньше числа $$\pi$$.

Ответ

$$\frac{P}{d}\approx 3{,}11,\quad \frac{P}{d}<\pi.$$